黄金比率
在序列中的头几个数字以后，任何一个数字与下一个数字之比大约是0.618比1，而与前一个数字之比大约是1.618比1。数字在序列中越靠后，比值越接近于，是无理数0.618034……。序列中间隔一个数字的相邻的两个数字的比值是0.381，其倒数是2.618。图1是连接所有1至144的斐波纳奇数字的比率表。
∮是唯一一个与1相加，可以得到其倒数的数字：0.618+1=1÷0.618。将相加和相乘结合，可得到以下等式序列：
0.6182=1-0.618，
0.6183=0.618-0.6182，
0.6184=0.6182-0.6183，
0.6185=0.6183-0.6184，等等
或，
1.6182=1+1.618，
1.6183=1.618+1.6182，
1.6184=1.6182+1.6183，
图1
1.6185=1.6183+1.6184，等等
四种主要比率的某些关联性质如下：
1.618-0.618=1，
1.618×0.618=1，
1-0.618=0.382，
0.618×0.618=0.382，
2.618-1.618=1，
2.618×0.382=1，
2.618×0.618=1.618，
1.618×1.618=2.618。
除了1和2之外，任何斐波纳奇数字乘以4，再有选择地加上一个斐波纳奇数字。可以得到另一个斐波纳奇数字，因此：
3×4=12；+1=13，
5×4=20；+1=21，
8×4=32；+2=34，
13×4=52；+3=55，
21×4=84； +5=89，依此类推。
在新序列发展的时候，第三个序列从与4倍的乘积相加的数字开始。这种关系是可能的。因为隔两个数字相邻的斐波纳奇数字的比值是4.236，这里0.236不仅是4.236的倒数，也是4.236与4的差。其它乘积可以产生不同的序列，这些序列都是基于斐波纳奇乘积。
以下，我们例举了部分与斐波纳奇序列有关的现象：
1.两个连续的斐波纳奇数字没有公约数。
2.我们发现，如果把斐波纳奇序列标上序列号1，2，3，4，5，6，7，等等，从斐波纳奇序列数字的第三项开始，每次遇到素数(仅能被1及其自身整除的数)的斐波纳奇数字时，它的序列号也是素数。相似地，从斐波纳奇序列数字的第三项开始，所有合数(除了1及其自身以外，还能被其它整数整除的数)的序列数都标示着合数的斐波纳奇数字，如表1所示。但反过来就不是这样了。
表1 斐波纳奇数字：素数对合数①
3.序列中的任何十个数字之和，均可被11整除。
4.序列中发展至任何一步的所有的斐波纳奇数字之和加上1，等于与最后一个加数向后相隔一项的斐波纳奇数字。②
5.从第一个1开始的任何相连的斐波纳奇序列数字的平方和，等于被选的最后一个序列数字乘以这个数字之后的斐波纳奇序列数字。③
6.一个斐波纳奇数字的平方，减去序列中与这个数字向前相隔一项数字的平方，结果还是一个斐波纳奇数字。④
7.任何斐波纳奇数字的平方等于序列中这个数字的前一项与后一项的乘积，再加上1或减去1。在整个序列中加上1或减去1相互替换。⑤
①P代表素数；C代表合数；X代表除此以外——译者。
②例如，1+1+2+3+5+8=20； +1=21，在斐波纳奇序列数字中，21与8相隔一项——译者。
③例如，12+12+22+32+52=40；=5×8——译者。
④例如，132-52=144，144还是个斐波纳奇数字——译者。
⑤例如，82 =64；=5×13-1，而132=169；=8×21+1——译者。
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